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Perchè mettendo le coordinate da Arc Catalog non riesco a visualizzarle in Arc Map, e utilittando il Toolbox in Arc Map, poi non mi visualizza il sistema di coodinate se guardo le proprietà in Arc Catalog?
Perchè con quel procedimento in arctoolbox associ un file .prj al tuo shape.
La struttura minima dello shape è composta da 3 file:
*.shp - geometrie
*.shx - indici
*.dbf - database
utilizzando Define projection aggiungi il file .prj (potresti ottenere lo stesso risultato copiando a mano il file prj che ti interessa e rinominandolo come gli altri file dello shape)

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Procedendo con il toolbox quando guardo le proprietà del layer mi dice che è riferito al sistema di Monte Mario. Ma se vado in Data Frame Properties, nella catella Layer, la mia mappa compare ancora come sconosciuta nel sistema di riferimento, anche se sotto Custom c'è già impostato il riferimento al sistema di Monte Mario. Che signfica?
Se ho capito bene cosa intendi significa che non hai impostato la proiezione al volo (OTF projection)del dataframe. Se non sbaglio di default dovrebbe prendere quella del primo layer caricato.